Question

7．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，BD⊥PM．
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若∠APD=60°，求直线AB与平面PBM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点E，连结PE，EM，AC．则AC∥EM，由菱形性质得BD⊥EM，又BD⊥PM，故而BD⊥平面PEM，于是BD⊥PE，又PE⊥AD，故而PE⊥平面ABCD，从而得出结论；
（2）以E为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBM的法向量和$\overrightarrow{AB}$的坐标，计算出|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AB}$＞|即为答案．

解答 证明：（1）取AD的中点E，连结PE，EM，AC
∵PA=PD，∴PE⊥AD．
∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵E，M是AD，CD的中点，∴EM∥AC，
∴BD⊥EM，又BD⊥PM，EM?平面PEM，PM?平面PEM，EM∩PM=M，
∴BD⊥平面PEM，∵PE?平面PEM，
∴BD⊥PE，
又AD?平面ABCD，BD?平面ABCD，AD∩BD=D，
∴PE⊥平面ABCD，又PE?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．
（2）∵底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，∴△ABE是等边三角形，
∵∠APD=60°，AP=PD，∴△PAD是等边三角形．
连结BE，则BE⊥AE，
以E为坐标原点，EA，EB，EP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设PA=PD=2，则A（1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），M（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），B（0，$\sqrt{3}$，0）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PM}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\sqrt{3}$）．
设平面PBM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PM}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\\{-\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{3}$得$\overrightarrow{n}$=（-1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}$=4，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{7}$，|$\overrightarrow{AB}$|=2，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴直线AB与平面PBM所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．