Question

12．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$cos²x-$\frac{3}{4}$sin²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）已知函数f（x）=-$\frac{3}{10}$$\sqrt{2}$且x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求tan2x的值．

Answer 1

分析 （1）由三角恒等变换化简f（x），由此得到最小正周期．
（2）有正弦值可以得到余弦值，由此得到正切值，由两角差的正切公式即可得到答案．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$cos²x-$\frac{3}{4}$sin²x．
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$+cos²x=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最小正周期是T=π．
（2）∵f（x）=-$\frac{3}{10}$$\sqrt{2}$，
∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{3}{5}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴cos（2x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{5}$，
∴tan（2x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{4}$，
∴tan2x=tan（2x+$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tan（2x+\frac{π}{4}）-tan\frac{π}{4}}{1+tan（2x+\frac{π}{4}）tan\frac{π}{4}}$=-$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查三角恒等变换，同角三角恒等式以及两角差的正切公式．