Question

【题目】，．

（1）当时，求函数的图象在处的切线方程．

（2）若函数在定义域上为单调增函数．

①求的最大整数值；

②证明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）① 2； ②证明见解析.

【解析】

（1）求得时函数的解析式，求得的值，结合直线的点斜式，即可求解；

（2）由题意可得恒成立．

①先证明，设，求得导数和单调性即可作出证明；同理可证得，再讨论和，即可求得的最大值．

②由①知，令，可得，得到，利用累加结合等比数列的求和公式，即可求解.

（1）当时，，可得，

又由，则，

则所求切线方程为，即．

（2）由函数，可得，

若函数在定义域上为单调增函数，则恒成立．

①先证明，设，则，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，即．

同理可证，

所以，所以．

当时，恒成立；

当时，，不恒成立，

经检验符合题意.

综上所述，的最大整数值为2．

②证明：由①知，令，

∴，∴，

由此可知，当时，，

当时，，

当时，，

…，

当时，，

累加得．

又，

∴，

即．