Question

【题目】已知圆与直线相离，是直线上任意点，过作圆的两条切线，切点为，.

（1）若，求；

（2）当点到圆的距离最小值为时，证明直线过定点.

Answer 1

【答案】(1)4;(2)证明见解析.

【解析】

(1) 连接交于点，可求出，从而可求出，在直角三角形中，可求出，由勾股定理可知的长度.

(2)由距离最小值可知圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式可求出圆心坐标，设，结合勾股定理可知，从而可求出以为圆心，为半径的圆的方程，联立圆与圆，整理可得，令，即可求出定点的坐标.

(1)解：连接交于点，由圆的性质可知，且，

因为，所以其半径，即，

所以，则，

所以，则

(2)解：过作直线的垂线，当垂足为时，点到圆的距离最小，

则，解得或(舍去)，所以，

设，则，

则以为圆心，为半径的圆，

则是圆与圆的公共弦，则联立得 ，

两方程相减可得，令 ，解得

所以直线过定点.