Question

【题目】如图，直三棱柱中，，，为的中点.

（I）若为上的一点，且与直线垂直，求的值；

（Ⅱ）在（I）的条件下，设异面直线与所成的角为45°，求直线与平面成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取中点,连接，证明 ，即可说明，由底面为正方形，可求得;

（Ⅱ）以为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及平面的法向量为，根据线面所成角的正弦值的公式即可求解。

（Ⅰ）证明：取中点,连接,有,

因为，所以,

又因为三棱柱为直三棱柱，

所以,

又因为,

所以，

又因为

所以

又因为,平面,平面,

所以，又因为平面,

所以,

因为，

所以,

连接,设，因为为正方形，

所以,又因为

所以,

又因为为的中点，

所以为的中点,

所以.

（Ⅱ）

如图以为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

设,由（Ⅰ）可知，

所以，

所以,

所以,

所以，

设平面的法向量为，

则即

则的一组解为．

所以

所以直线与平面成角的正弦值为.