Question

7．设f（x）是周期为4的周期函数，且当x∈（-1，3]时，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{m\sqrt{1-{x^2}}，\;\;\;\;\;-1＜x≤1}\\{1-|{x-2}|，\;\;\;\;\;\;\;\;1＜x≤3}\end{array}}\right.$，若函数g（x）=3f（x）-x有且仅有五个零点，则正实数m的取值范围是（$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\sqrt{7}$）．

Answer 1

分析 函数g（x）=3f（x）-x有且仅有五个零点，即为g（x）=0有五个不相等的实根，作出函数f（x）的图象，以及直线y=$\frac{1}{3}$x，即考虑它们的交点有5个，分别求出直线与f（x）在（3，5）和（7，9）的图象相切的m的值，运用联立方程，根据判别式为0，再由图象观察即可得到m的范围．

解答 解：函数g（x）=3f（x）-x有且仅有五个零点，即为
g（x）=0有五个不相等的实根，
作出函数f（x）的图象，以及直线y=$\frac{1}{3}$x，
即考虑它们的交点有5个，
由f（x）是周期为4的周期函数，可得当3＜x＜5时，
f（x）=m$\sqrt{1-（x-4）^{2}}$，
当7＜x＜9时，f（x）=m$\sqrt{1-（x-8）^{2}}$，
当直线y=$\frac{1}{3}$x与曲线f（x）=m$\sqrt{1-（x-8）^{2}}$，（7＜x＜9）相切，
由$\frac{1}{3}$x=m$\sqrt{1-（x-8）^{2}}$平方整理可得，（1+9m²）x²-144m²x+567m²=0，
根据判别式△=（144m²）²-4（1+9m²）•567m²=0，
解得m=$\sqrt{7}$，
当直线y=$\frac{1}{3}$x与曲线f（x）=m$\sqrt{1-（x-4）^{2}}$，（3＜x＜5）相切，
由$\frac{1}{3}$x=m$\sqrt{1-（x-4）^{2}}$平方整理可得，（1+9m²）x²-72m²x+135m²=0，
根据判别式△=（72m²）²-4（1+9m²）•135m²=0，
解得m=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
通过图象观察可得，当直线y=$\frac{1}{3}$x与曲线f（x）=m$\sqrt{1-（x-4）^{2}}$，（3＜x＜5）相切，
直线与f（x）图象有4个交点，当m＞$\frac{\sqrt{15}}{3}$时，有5个交点，
一直到直线y=$\frac{1}{3}$x与曲线f（x）=m$\sqrt{1-（x-8）^{2}}$，（7＜x＜9）相切，
即有m＜$\sqrt{7}$．
则正实数m的取值范围是（$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\sqrt{7}$）．
故答案为：（$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\sqrt{7}$）．

点评 本题考查分段函数的图象及运用，主要考查周期函数的运用，同时考查直线和曲线相切的条件，运用数形结合的思想方法是解题的关键．