Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²+lnx（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x-y=0垂直，试分析方程f（x）=0的解的个数；
（2）若函数f（x）在[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若x＞1，求证：4-8ln2+8ln（1+

1

x

）＜（1+

1

x

）²＜8ln（1+

1

x

）+1．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数的单调性与导数的关系,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由导数的几何意义k=f′（1）计算出a，再利用数形结合解题．
（2）由函数f（x）在[1，2]上单调递增转化为：f′（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，再由参数分离得到a≥-

1

x2

，x∈[1，2]，再进一步求解．
（3）

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

ax²+lnx（x∈R），
∴f′(x)=ax+

1

x

，x＞0，
∴f′ (1)=a+1，
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x-y=0垂直，
∴a+1=-1，解得a=-2．
∴f（x）=-x²+lnx，
在同一坐标系中，分别作出y=-x²和y=lnx的图象，
由图象知f（x）=-x²+lnx=0的解的个数只有1个．
（2）由函数f（x）在[1，2]上单调递增，知f′（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，
f′(x)=ax+

1

x

=

ax2+1

x

≥0，分离参数得，
a≥-

1

x2

在x∈[1，2]上恒成立，
只须a≥(-

1

x2

)max即可，
又-

1

x2

在[1，2]上单调递増，∴(-

1

x2

)max=-

1

4

，
∴a≥-

1

4

∴实数a的取值范围是[-

1

4

，+∞）．
（3）∵x＞1，∴0＜

1

x

＜1，∴1＜1+

1

x

＜2，
令a=-

1

4

，f（x）=-

1

8

x2+lnx，由（2）可知，f（x）在[1，2]上单调递增，
f（1）＜f(1+

1

x

)＜f(2)，-

1

8

＜-

1

8

(1+

1

x

)2+ln(1+

1

x

)＜-

1

2

+ln2，化简得，
4-8ln2+8ln(1+

1

x

)＜(1+

1

x

)2＜8ln(1+

1

x

)+1．

点评：导数是高考中常考的知识点，在选择题，填空题以及解答题都有出现，本题中采用的也是经常考查的知识点和方法，其中参数分离在使用时是相对比较方便的，在第三问的处理中，直接利用第二问的结论化简即可，很多学生可能被冗长的题目吓到，其实，只要静下心来仔细分析，这些都是“纸老虎”，不难攻破．