Question

已知数列{a_n}，对任何正整数n都有：a₁•1+a₂•2+a₃•2²+…+a_n•2^n-1=（n-1）•2ⁿ+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）①若λ≥

7an-2

2an

（n∈N⁺）恒成立，求实数λ的范围；
②若数列{b_n}满足b_n=|（-1）ⁿ•2^a_n+7-2a_n|，求数列{b_n}的前项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设bn=2n-1，由a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1，得an•bn=n•2n-1，从而能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）①记f（n）=

7n-2

2n

，n∈N^*，则

f(n+1)

f(n)

=

1

2

•

7n-5

7n-2

=

1

2

(1+

5

7n-2

)，推导出f（n）先增后减，在n=2时取到最大值，由此求出λ≥f（2）=3．
②由b_n=|（-1）ⁿ•2ⁿ+7-2n|=|（-1）ⁿ（7-2n）+2ⁿ|，得到S_n=（5-2）+（3+2²）+（-1+2³）+（-1+2⁴）+（3+2⁵）+（-5+2⁶）+…+[（-1）ⁿ（7-2n）+2ⁿ]，由此能求出数列{b_n}的前项和S_n．

解答： 解：（1）依题意，设数列{b_n}的通项公式为bn=2n-1，
由a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1，
可得a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=(n-2)•2n-1+1（n≥2），
两式相减可得an•bn=n•2n-1，即a_n=n．
当n=1时，a₁=1，从而对一切n∈N^*，都有a_n=n．
∴数列{a_n}的通项公式是a_n=n．
（2）①记f（n）=

7n-2

2n

，n∈N^*，
则

f(n+1)

f(n)

=

1

2

•

7n-5

7n-2

=

1

2

(1+

5

7n-2

)，
当n=1时，

f(n+1)

f(n)

＞1，f（2）＞f（1），
当n≥2时，

f(n+1)

f(n)

≤

1

2

(1+

5

12

)＜1，
∴f（n）先增后减，在n=2时取到最大值，
∴λ≥f（2）=3．
②b_n=|（-1）ⁿ•2^a_n+7-2a_n|=|（-1）ⁿ•2ⁿ+7-2n|=|（-1）ⁿ（7-2n）+2ⁿ|，
S_n=（5-2）+（3+2²）+（-1+2³）+（-1+2⁴）+（3+2⁵）+（-5+2⁶）+…+[（-1）ⁿ（7-2n）+2ⁿ]
=5-2+3-1+（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）+[-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ（7-2n）]
=3+（2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）+[-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ（7-2n）]
=

3+ 2(1-2n) 1-2 +2× n-3 2 ，n为奇数 3+ 2(1-2n) 1-2 +2× n-4 2 +7-2n，n为偶数

=

2n+1+n-2，n为奇数 2n+1-n+4，n为偶数

．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意分组求和法的合理运用．