Question

设f（x）=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N⁺）．
（1）求x₂，x₃，x₄，x₅的值；  
（2）归纳{x_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用f（x）=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1），代入计算，可得x₂，x₃，x₄，x₅的值；  
（2）归纳{x_n}的通项公式，用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，已知结论成立，第二步，先假设n=k时结论成立，利用此假设结合题设条件证明当n=k+1时，结论也成立即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2x

x+2

，x₁=1，
∴x₂=f（x₁）=

2

3

，x₃=f（x₂）=

2

4

，x₄=f（x₃）=

2

5

，x₅=f（x₄）=

2

6

；
（2）猜想x_n=

2

n+1

，
用数学归纳法证明：
①n=1时，结论成立；
②假设n=k时结论成立，即x_k=

2

k+1

，则
x_k+1=

2xk

xk+2

=

2

(k+1)+1

所以，当n=k+1时公式也成立．…（11分）
由①②知，x_n=

2

n+1

成立．….12

点评：本题考查数列的函数特性，考查考查了数学归纳法，数学归纳法的基本形式：
设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立（奠基）
2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立