Question

（1）若x＞1，求x+

1

x-1

的最小值．
（2）设0＜x＜1，a＞0，b＞0，a，b为常数，求

a2

x

+

b2

1-x

的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（1）x+

1

x-1

=x-1+

1

x-1

+1，运用基本不等式可求函数的最小值；
（2）

a2

x

+

b2

1-x

=(

a2

x

+

b2

1-x

)(x+1-x)=a2+

(1-x)a2

x

+

xb2

1-x

+b2，运用基本不等式可求函数的最值；

解答： 解：（1）∵x＞1，∴x-1＞0，
∴x+

1

x-1

=x-1+

1

x-1

+1≥3（当且仅当x-1=

1

x-1

即x=2时取“=”），
∴x+

1

x-1

的最小值为3；
（2）∵0＜x＜1，a＞0，b＞0，
∴

a2

x

+

b2

1-x

=(

a2

x

+

b2

1-x

)(x+1-x)=a2+

(1-x)a2

x

+

xb2

1-x

+b2≥a2+2

a2b2

+b2=(a+b)2，
（当且仅当

(1-x)a2

x

=

xb2

1-x

即x=

a

a+b

时取等号）．
∴

a2

x

+

b2

1-x

的最小值是（a+b）²．

点评：该题考查利用基本不等式求函数的最值，属基础题，对式子进行灵活变形，合理创建使用基本不等式的条件是解题关键．