Question

如图，在△AOB中，点P是AB的中垂线上的一点，|

AO

|=3，|

BO

|=2，则

.

OP

•（

.

OA

-

.

OB

）=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：设出AB的中点D，则

OP

=

OD

+

DP

，代入到向量式

OP

•(

OA

-

OB

)中，化简计算，注意到

DP

•

BA

=0，问题转化成计算

OD

•

BA

，又

OD

=

1

2

（

OA

+

OB

），计算可得

OD

•

BA

=

1

2

（

OA

+

OB

）•(

OA

-

OB

)=

1

2

（

OA

2-

OB

2），代值计算即可．

解答： 解：设AB的中点为D，则

OP

=

OD

+

DP

，
∴

OP

•(

OA

-

OB

)=（

OD

+

DP

）•

BA

=

OD

•

BA

+

DP

•

BA

=

OD

•

BA

，
又

OD

=

1

2

（

OA

+

OB

），
∴

OD

•

BA

=

1

2

（

OA

+

OB

）•(

OA

-

OB

)=

1

2

（

OA

2-

OB

2）=

1

2

(32-22)=

5

2

．
即

OP

•(

OA

-

OB

)=

5

2

．
故填：

5

2

．

点评：本题中对向量的不断转化是解题的关键，学生在做题时要学会利用题目中的条件，例如，“点P是AB的中垂线上的一点”这个条件的利用就不难想到设出AB的中点D，另外，“若OD是△OAB的中线，则

OD

=

1

2

（

OA

+

OB

）”这个结论也运用的较为广泛．