(本小题满分12分)
在如图所示的四棱锥中,已知 PA⊥平面ABCD,
,
,
,
为
的中点.
(1)求证:MC∥平面PAD;
(2)求直线MC与平面PAC所成角的余弦值;
(3)求二面角的平面角的正切值.
(1)根据中位线性质,得到EM//AB,且EM= AB. 又因为
,且
,所以EM//DC,且EM=DC ∴四边形DCME为平行四边形, 则MC∥DE,
(2)(3)
解析试题分析:(1 )如图,取PA的中点E,连接ME,DE,∵M为PB的中点,
∴EM//AB,且EM= AB. 又∵
,且
,
∴EM//DC,且EM=DC ∴四边形DCME为平行四边形,
则MC∥DE,又平面PAD,
平面PAD
所以MC∥平面PAD
(2)取PC中点N,则MN∥BC,∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC ,
又,∴BC⊥平面PAC,
则MN⊥平面PAC所以,为直线MC与平面PAC所成角,
(3)取AB的中点H,连接CH,则由题意得
又PA⊥平面ABCD,所以,则
平面PAB.
所以,过H作
于G,连接CG,则
平面CGH,所以
则为二面角
的平面角.
则,
故二面角的平面角的正切值为
考点:本试题考查了线面角和二面角的求解运用。
点评:解决该试题的关键是能利用线面角和二面角的定义,准确的表示角,借助于三角形的知识来求解得到,也可以建立空间直角坐标系来运用空间向量法来得到求解,属于中档题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
如图,在三棱锥中,
,
,
,
,
, 点
,
分别在棱
上,且
,
(Ⅰ)求证:平面PAC
(Ⅱ)当为
的中点时,求
与平面
所成的角的正弦值;
(Ⅲ)是否存在点使得二面角
为直二面角?并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分12分)
如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.
(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角Q-BP-C的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分13分)
如图1,在等腰梯形中,
,
,
,
为
上一点,
,且
.将梯形
沿
折成直二面角
,如图2所示.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)设点关于点
的对称点为
,点
在
所在平面内,且直线
与平面
所成的角为
,试求出点
到点
的最短距离.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分14分)
如图,已知平面QBC与直线PA均垂直于所在平面,且PA=AB=AC.
(Ⅰ)求证:PA∥平面QBC;
(Ⅱ)若,求二面角Q-PB-A的余弦值。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题12分)在直三棱柱(侧棱垂直底面)中,
,
.
(Ⅰ)若异面直线与
所成的角为
,求棱柱的高;
(Ⅱ)设是
的中点,
与平面
所成的角为
,当棱柱的高变化时,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
如图,平面⊥平面
,
是直角三角形,
,四边形
是直角梯形,其中
,
,
,且
,
是
的中点,
分别是
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求二面角的正切值.
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