(本小题满分12分)
如图,在三棱锥中,,,,,, 点,分别在棱上,且,
(Ⅰ)求证:平面PAC
(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的正弦值;
(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.
(1)要证明线面垂直,一般可以通过线线垂直来证明,也可以通过面面垂直来证明,该试题的关键是证明AC⊥BC (2)
(3) 存在点E使得二面角是直二面角
解析试题分析:解:(法1)(Ⅰ)∵,,,∴PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.又,∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴,
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥AB,又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形,
∴,∴在Rt△ABC中,,∴.
∴在Rt△ADE中,,
∴与平面所成的角的大小.
(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角的平面角,∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥AC,∴.∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,
这时,故存在点E使得二面角是直二面角.
(法2)如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系,设,
由已知可得,,,.
(Ⅰ)∵,,∴,
∴BC⊥AP.又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,
∴,,∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵,
∴,
∴与平面所成的角的大小。
(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角的平面角,∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥AC,∴.∴在棱PC上存在一点E,
使得AE⊥PC,这时,
故存在点E使得二面角是直二面角.
考点:空间中线面垂直,以及线面角和二面角的求解
点评:解决的关键是利用已知中的线线垂直来证明线面垂直,同时得到线面角的大小,结合三角形求解,同时要结合三垂线定理得到二面角的大小,属于基础题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在直角梯形ABCD中,,,且,E、F分别为线段CD、AB上的点,且.将梯形沿EF折起,使得平面平面BCEF,折后BD与平面ADEF所成角正切值为.
(Ⅰ)求证:平面BDE;
(Ⅱ)求平面BCEF与平面ABD所成二面角(锐角)的大小.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分14分)
如图1,在等腰梯形CDEF中,CB、DA是梯形的高,,,现将梯形沿CB、DA折起,使且,得一简单组合体如图2示,已知分别为的中点.
图1 图2
(1)求证:平面;
(2)求证:;
(3)当多长时,平面与平面所成的锐二面角为?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
如图1,在Rt中,,.D、E分别是上的点,且,将沿折起到的位置,使,如图2.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)若,求与平面所成角的余弦值;
(Ⅲ)当点在何处时,的长度最小,并求出最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
在如图所示的四棱锥中,已知 PA⊥平面ABCD, , ,,
为的中点.
(1)求证:MC∥平面PAD;
(2)求直线MC与平面PAC所成角的余弦值;
(3)求二面角的平面角的正切值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com