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(本小题满分12分)
如图,在三棱锥中,, 点分别在棱上,且

(Ⅰ)求证:平面PAC
(Ⅱ)当的中点时,求与平面所成的角的正弦值;
(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.

(1)要证明线面垂直,一般可以通过线线垂直来证明,也可以通过面面垂直来证明,该试题的关键是证明AC⊥BC (2)
(3) 存在点E使得二面角是直二面角

解析试题分析:解:(法1)(Ⅰ)∵,∴PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.又,∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥AB,又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形,
,∴在Rt△ABC中,,∴.
∴在Rt△ADE中,
与平面所成的角的大小.
(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角的平面角,∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥AC,∴.∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,
这时,故存在点E使得二面角是直二面角.
(法2)如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系,设
由已知可得.
(Ⅰ)∵,∴
∴BC⊥AP.又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,
,∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,


与平面所成的角的大小
(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角的平面角,∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥AC,∴.∴在棱PC上存在一点E,
使得AE⊥PC,这时
故存在点E使得二面角是直二面角.
考点:空间中线面垂直,以及线面角和二面角的求解
点评:解决的关键是利用已知中的线线垂直来证明线面垂直,同时得到线面角的大小,结合三角形求解,同时要结合三垂线定理得到二面角的大小,属于基础题。

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(2)求证:
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三棱锥中,,

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 ,

(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:∥平面
(Ⅲ)求二面角的余弦值.

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(本小题满分12分)
在边长为2的正方体中,EBC的中点,F的中点

(1)求证:CF∥平面
(2)求二面角的平面角的余弦值.

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(本小题满分12分)
如图1,在Rt中,.D、E分别是上的点,且,将沿折起到的位置,使,如图2.

(Ⅰ)求证:平面平面
(Ⅱ)若,求与平面所成角的余弦值;
(Ⅲ)当点在何处时,的长度最小,并求出最小值.

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(本小题满分12分)
在如图所示的四棱锥中,已知 PA⊥平面ABCD
的中点.

(1)求证:MC∥平面PAD
(2)求直线MC与平面PAC所成角的余弦值;
(3)求二面角的平面角的正切值.

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