Question

已知函数f（x）=3x²-6x-5．
（1）求不等式f（x）＞4的解集；
（2）设g（x）=f（x）-4x²+mx，若存在x∈R，使g（x）＞0，求m的取值范围；
（3）若对于任意的a∈[1，2]，关于x的不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b在区间[1，3]上恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,一元二次不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）直接求解一元二次不等式得答案；
（2）把f（x）代入g（x）=f（x）-4x²+mx，若存在x∈R，使g（x）＞0，转化为不等式-x²+（m-6）x-5＞0的解集非空，由判别式大于0得答案；
（3）把对于任意的a∈[1，2]，关于x的不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b在区间[1，3]上恒成立，
等价于对于任意的a∈[1，2]，不等式2x²+2ax-（a+b+5）≤0在区间[1，3]上恒成立，构造函数
ϕ（x）=2x²+2ax-（a+b+5），求出对称轴，由a的范围得到对称轴的范围，求出ϕ（x）的最值后借助于
b≥5a+13恒成立求得实数b的取值范围．

解答： 解：（1）由f（x）＞4，得3x²-6x-5＞4，即x²-2x-3＞0．
解得x＜-1或x＞3．
∴不等式f（x）＞4的解集为{x|x＜-1或x＞3}；
（2）g（x）=f（x）-4x²+mx=3x²-6x-5-4x²+mx=-x²+（m-6）x-5．
若存在x∈R，使g（x）＞0，即不等式-x²+（m-6）x-5＞0的解集非空，
也就是x²-（m-6）x+5＜0的解集非空．
则[-（m-6）]²-20＞0，解得：
m＞6+2

5

或m＜6-2

5

；
（3）对于任意的a∈[1，2]，关于x的不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b在区间[1，3]上恒成立，
等价于对于任意的a∈[1，2]，不等式2x²+2ax-（a+b+5）≤0在区间[1，3]上恒成立，
令ϕ（x）=2x²+2ax-（a+b+5），对称轴x=-

a

2

由已知，-

a

2

∈[-1，-

1

2

]，
∴ϕ_max（x）=ϕ（3）=5a-b+13，
∴只要当a∈[1，2]时，5a-b+13≤0恒成立即可，
即当a∈[1，2]时，b≥5a+13恒成立，
∴实数b的取值范围是[23，+∞）．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了函数恒成立问题，体现了数学转化思想方法，考查了学生的灵活变形能力，是中档题．