Question

已知AB是圆O的直径，C，D是圆上不同两点，且CD∩AB=H，AC=AD，PA⊥圆O所在平面．
（Ⅰ）求证：PB⊥CD；
（Ⅱ）若PB与圆O所在平面所成角为

π

4

，且∠CAD=

2π

3

，求二面角C-PB-D的大小的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，重点要根据线面垂直进行转化，即要证明PB⊥CD只要能证明CD⊥平面PAB即可，进一步找到CD⊥平面PAB的条件．
（Ⅱ）要求二面角C-PB-D的大小的余弦值，直接使用几何法较为困难，可以通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量以及向量的数量积来进行求解．

解答： （Ⅰ）证明：
∵AB是圆O的直径
∴∠ACB=∠ADB=

π

2

，
∵AC=AD
∴Rt△ACB≌Rt△ADB
∴AB⊥CD
∵PA⊥圆O所在平面，CD在圆O所在平面内
∴PA⊥CD
∵PA∩AB=A
∴CD⊥平面PAB
∴PB⊥CD
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz：设PA=2
∵∠PBA是直线PB与圆O所在平面所成的平面角，且∠PBA=

π

4

∴AB=2
∵∠CAD=

2π

3

，
∴∠CAB=∠DAB=

π

3

∴AC=1，CD=

3

∴D（

3

2

，

1

2

，0），C（-

3

2

，

1

2

，0），B（0，2，0），P（0，0，2）

BD

=（

3

2

，-

3

2

，0），

BC

=（-

3

2

，-

3

2

，0），

BP

=（0，-2，2）
设平面PBD的法向量为：

V

=(x，y，z)
则

V • BD =0 V • BP =0

3 2 x- 3 2 =0 -2y+2z=0

 令x=

3

 则

V

=（

3

，1，1）
同理解得平面PBC的法向量：

u

=(

3

，-1，-1)
设二面角C-PB-D的大小为θ
cosθ=

v • u

| v |•| u|

=

1

5

即二面角C-PB-D的大小的余弦值为

1

5

点评：本题考查的知识点：直线与直线的垂直，直线与平面垂直的判定与性质以及线线垂直与线面垂直的互化，空间直角坐标系的建立，平面的法向量，向量的数量积，是高考的重点考查题型．