Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF与异面直线AC、A₁D都垂直相交．求证：EF∥BD₁．

Answer 1

考点：空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：连接AB₁，B₁C，BD，由线面垂直得DD₁⊥AC，由BD⊥AC，得AC⊥BD₁，同理可证BD₁⊥B₁C，从而BD₁⊥平面AB₁C，再由EF⊥平面AB₁C，能推导出EF∥BD₁．

解答： 证明：如图所示，连接AB₁，B₁C，BD，
因为DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以DD₁⊥AC，
又因为BD⊥AC，DD₁∩BD=D，
所以AC⊥平面BDD₁B₁，
所以AC⊥BD₁，
同理可证BD₁⊥B₁C，
又AC∩B₁C=C，
所以BD₁⊥平面AB₁C．…（8分）．
因为EF⊥A₁D，又A₁D∥B₁C，
所以EF⊥B₁C，
因为EF⊥AC，AC∩B₁C=C
所以EF⊥平面AB₁C，
所以EF∥BD₁．…（12分）

点评：本题考查两直线平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．