Question

已知函数f（x）=log₂²x-log₂x²
（1）求方程f（x）-3=0的解；
（2）当x∈[

1

2

，4]时，求函数f（x）的最值，并求f（x）取最值时对应的x的值．

Answer 1

考点：函数的零点,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得log₂²x-2log₂x-3=0，从而求解方程的根；
（2）利用换元法求函数的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）-3=0，
∴log₂²x-2log₂x-3=0，
∴（log₂x-3）（log₂x+1）=0，
∴log₂x=3或log₂x=-1，
∴x=8或

1

2

．
（2）设t=log₂x，∵x∈[

1

2

，4]，∴t∈[-1，2]，
f（x）=t²-2t=（t-1）²-1，
当t=1，即x=2时，f（x）_min=-1，
当t=-1，即x=

1

2

时，f（x）_max=3．

点评：本题考查了函数与方程的关系，同时考查了换元法求函数的最值，属于基础题．