Question

13．若存在x∈（0，+∞），使不等式e^x（x²-x+1）（ax+3a-1）＜1成立，则（　　）

• A． 0$＜a＜\frac{1}{3}$
• B． a$＜\frac{2}{e+1}$
• C． a$＜\frac{2}{3}$
• D． a$＜\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 分类参数a＜$\frac{1}{x+3}$$+\frac{1}{{e}^{x}（{x}^{2}-x+1）（x+3）}$，构造函数y=$\frac{1}{x+3}$$+\frac{1}{{e}^{x}（{x}^{2}-x+1）（x+3）}$，利用导数，观察法等判断函数的单调性，求解最值问，来解决存在性问题．

解答 解：∵x∈（0，+∞），
∴e^x＞0，（x²-x+1）＞0，x+3＞0，
∵e^x（x²-x+1）（ax+3a-1）＜1，
∴a＜$\frac{1}{x+3}$$+\frac{1}{{e}^{x}（{x}^{2}-x+1）（x+3）}$
令y=$\frac{1}{x+3}$$+\frac{1}{{e}^{x}（{x}^{2}-x+1）（x+3）}$，
∵y=e^x（x²-x+1），
∴y′=e^x（x²+x）＞0，x＞0
∵y=x+3在（0，+∞）上单调递增，y=x+3＞0，
∴y=$\frac{1}{x+3}$$+\frac{1}{{e}^{x}（{x}^{2}-x+1）（x+3）}$在[0，+∞）上单调递减．
∴y_max=$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{{e}^{0}（0-0+1）（0+3）}$=$\frac{2}{3}$，
∴存在x∈（0，+∞），使a＜$\frac{1}{x+3}$$+\frac{1}{{e}^{x}（{x}^{2}-x+1）（x+3）}$成立，
即a＜$\frac{2}{3}$，
故选：C．

点评 本题考查了不等式的问题，分离参数解决问题，利用求解导数判断函数的单调性，解决较复杂的函数的单调性的判断问题，属于难度较大的题目．