Question

已知y=f（x）且lg（lgy）=lgx+lg（4-x）．
（1）求f（x）的定义域及解析式；
（2）求f（x）的值域；
（3）证明：lg（lgy）=lg（lgf（x））．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法,函数的值域,对数的运算性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由对数的运算性质，即可得到f（x）的解析式，再由对数的真数大于0，即可得到定义域；
（2）运用二次函数的值域，结合指数函数的单调性，即可得到值域；
（3）运用对数的运算法则，即可得证．

解答： 解：（1）lg（lgy）=lgx+lg（4-x），
即lg（lgy）=lgx（4-x），则lgy=x（4-x），
则有y=f（x）=10^x（4-x），
由x＞0，4-x＞0得0＜x＜4．
则f（x）=10^x（4-x），定义域为（0，4）；
（2）由于0＜x（4-x）=-（x-2）²+4≤4，
则10⁰＜f（x）≤10⁴，
则值域为（1，10⁴]；
（3）证明：lg（lgf（x））=lg（lg10x（4-x））
=lg[x（4-x）]=lgx+lg（4-x），
lg（lgy）=lgx+lg（4-x），
则有lg（lgy）=lg（lgf（x））．

点评：本题考查函数的解析式和定义域的求法，以及值域的求法，考查对数的运算法则，属于基础题．