Question

18．直角坐标系xOy的原点和极坐标系OX的极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同．在直角坐标系下，曲线C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2mcosϕ\\ y=nsinϕ\end{array}\right.$（m，n为常数，φ为参数）．
（1）当m=n=1时，在极坐标系下，此时曲线C与射线$θ=\frac{π}{4}$和射线$θ=-\frac{π}{4}$分别交于A，B两点，求△AOB的面积；
（2）当m=1，n=2时，又在直角坐标系下，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t-\sqrt{3}\\ y=\sqrt{3}t+1\end{array}\right.$（t为参数），求此时曲线C与直线l的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）先消去参数方程中的参数得普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换将直角坐标方程化成极坐标方程，通过极坐标方程求出三角形的边长后求面积即可．
（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得t的值，再代入l的参数方程，得曲线C与直线l的交点坐标．

解答 解：（1）当m=n=1时，曲线C在直角坐标系下的普通方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
将其化为极坐标方程为$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{4}+\frac{{{ρ^2}{{sin}^2}θ}}{1}=1$，…（2分）
分别代入$θ=\frac{π}{4}$和$θ=-\frac{π}{4}$，得${|{OA}|^2}={|{OB}|^2}=\frac{8}{5}$，
因为$∠AOB=\frac{π}{2}$，故△AOB的面积$S=\frac{1}{2}|{OA}|•|{OB}|=\frac{4}{5}$…（5分）
（2）当m=1，n=2时，曲线C的普通方程x²+y²=4，将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得4t²=0，即t=0，代入l的参数方程，得x=-$\sqrt{3}$，y=1，所以曲线C与直线l的交点坐标为（-$\sqrt{3}$，1）…（10分）

点评 本题考查坐标系与参数方程，对参数方程与极坐标方程之间的灵活转化是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．