Question

13．如图，点P等可能分布在菱形ABCD内，则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}≤\frac{1}{4}{\overrightarrow{AC}^2}$的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 求得$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影长度小于$\frac{1}{4}$AC，利用面积为测度，即可求出概率．

解答 解：设$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{AC}$的夹角为θ，
∵$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}≤\frac{1}{4}{\overrightarrow{AC}^2}$，
∴4|$\overrightarrow{AP}$|cosθ≤|$\overrightarrow{AC}$|，
∴$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影长度小于$\frac{1}{4}$AC，∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影长度等于$\frac{1}{4}$AC时，三角形的面积为菱形ABCD的$\frac{1}{8}$，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}≤\frac{1}{4}{\overrightarrow{AC}^2}$的概率是$\frac{1}{8}$．
故选：D．

点评 本题考查几何概型计算公式及其应用等知识，确定$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影长度小于$\frac{1}{4}$AC是关键．