Question

9．已知$f（x）=\frac{4x-t}{{{x^2}+1}}$的两个极值点为α，β，记A（α，f（α）），B（β，f（β））
（Ⅰ）若函数f（x）的零点为γ，证明：α+β=2γ．
（Ⅱ） 设点$C（{\frac{t}{4}-m，0}），D（{\frac{t}{4}+m，0}）$，是否存在实数t，对任意m＞0，四边形ACBD均为平行四边形．若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据二次函数的性质证明即可；
（Ⅱ）求出f（α）+f（β）的解析式，根据二次函数的性质以及ACBD均为平行四边形，求出t的值即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：$f'（x）=\frac{{4（{x^2}+1）-（4x-t）2x}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}=\frac{{-4{x^2}+2tx+4}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}=0$，
即-4x²+2tx+4=0，△=4t²+64＞0，
∴$α+β=\frac{t}{2}，α•β=-1$，$f（x）=\frac{4x-t}{{{x^2}+1}}=0$，即4x-t=0，则零点$γ=\frac{t}{4}$，
∴$α+β=2γ=\frac{t}{2}$得证．
（Ⅱ） 要使$A，C（{\frac{t}{4}-m，0}），B，D（{\frac{t}{4}+m，0}）$构成平行四边形，
由$α+β=\frac{t}{2}=（{\frac{t}{4}-m}）+（{\frac{t}{4}+m}）$得，只需f（α）+f（β）=0，
∴$f（α）+f（β）=\frac{4α-t}{{{α^2}+1}}+\frac{4β-t}{{{β^2}+1}}=\frac{{4α{β^2}+4α-t{β^2}-t+4{α^2}β+4β-t{α^2}-t}}{{（{α^2}+1）（{β^2}+1）}}$
=$\frac{{4αβ（α+β）+4（α+β）-t（{β^2}+{α^2}）-2t}}{{（{α^2}+1）（{β^2}+1）}}$=$\frac{{-2t+2t-t[{{（β+α）}^2}-2αβ]-2t}}{{（{α^2}+1）（{β^2}+1）}}$
=$\frac{{-2t-t[\frac{t^2}{4}+2]}}{{（{α^2}+1）（{β^2}+1）}}=\frac{{-4t-\frac{t^3}{4}}}{{（{α^2}+1）（{β^2}+1）}}=\frac{{-t（4+\frac{t^2}{4}）}}{{（{α^2}+1）（{β^2}+1）}}=0$，
所以t=0．

点评 本题考查了导数的应用，考查二次函数的性质以及不等式的证明，是一道综合题．