Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx（a∈R）．
（1）若函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b，建立方程，即可求a，b的值；
（2）分类讨论，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间．

解答 解：（1）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=x-$\frac{a}{x}$．
∵函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b，
∴f（2）=2-aln2=2+b，f′（2）=2-$\frac{a}{2}$=1，
∴a=2，b=-2ln2；
（2）f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，x＞0．
a≤0时，f′（x）=x-$\frac{a}{x}$＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
a＞0时，x＞$\sqrt{a}$，f′（x）＞0；0＜x＜$\sqrt{a}$，f′（x）＜0，
可得函数的单调增区间为（$\sqrt{a}$，+∞），单调减区间是（0，$\sqrt{a}$）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，属于中档题．