Question

12．若定义在R上的函数f（x）满足f′（x）-2f（x）-4＞0，f（0）=-1，则不等式f（x）＞e^2x-2（其中e是自然对数的底数）的解集为（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（0，+∞）
• C． （-∞，0）∪（0，+∞）
• D． （-1，+∞）

Answer 1

分析 由已知条件构造辅助函数F（x）=$\frac{f（x）+2}{{e}^{2x}}$，求导，根据已知求得函数的单调区间，结合原函数的性质和函数值，即可f（x）＞e^2x-2的解集．

解答 解：由f（x）＞e^2x-2，得f（x）+2＞e^2x，得$\frac{f（x）+2}{{e}^{2x}}$＞1，令F（x）=$\frac{f（x）+2}{{e}^{2x}}$，
则F′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{2x}-2[f（x）+2]{e}^{2x}}{（{e}^{2x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-2f（x）-4}{{e}^{2x}}$，
∵f′（x）-2f（x）-4＞0，
∴F′（x）＞0，
∴F（x）=$\frac{f（x）+2}{{e}^{2x}}$在R上单调递增，
f（0）=-1，F（0）=1，
∴原不等式等价于F（x）＞F（0），
∴x＞0，故不等式f（x）＞e^2x-2的解集为（0，+∞），
故答案选：A．

点评 本题考查函数的导数与单调性的结合，根据已知条件构造辅助函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题．