Question

2．如图，F₁，F₂分别是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，经过右焦点F₂的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，且|PF₂|=2|F₂Q|，PQ⊥F₁Q，则双曲线C的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{17}}{3}$

Answer 1

分析 设|F₂Q|=m，根据双曲线的定义分别求出|PF₁|=2m+2a，|QF₁|=m+2a，根据直角三角形的性质建立方程关系求出m=$\frac{2}{3}$a，然后再次利用直角三角形的关系建立a，c的方程关系进行求解即可．

解答 解：∵经过右焦点F₂的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，且|PF₂|=2|F₂Q|，∴设|F₂Q|=m，则|PF₂|=2|F₂Q|=2m，
|PF₁|=|PF₂|+2a=2m+2a，
|QF₁|=|QF₂|+2a=m+2a，
∵PQ⊥F₁Q，
∴|PF₁|²=|PQ|²+|QF₁|²，
即（2m+2a）²=（3m）²+（m+2a）²，
整理得4m²+8ma+4a²=9m²+m²+8ma+4a²，
即4am=6m²，
则m=$\frac{2}{3}$a，
则|QF₁|=$\frac{2}{3}$a+2a=$\frac{8a}{3}$，|F₂Q|=$\frac{2}{3}$a，
由|F₁F₂|²=|F₁Q|²+|QF₂|²，
即4c²=（$\frac{8a}{3}$）²+（$\frac{2}{3}$a）²=$\frac{68{a}^{2}}{9}$，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{17}{9}$，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{17}{9}}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直角三角形的定义结合双曲线的定义建立方程公式是解决本题的关键．综合性较强，考查学生的计算能力．