Question

【题目】已知在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠BCD=60°，侧面SAB是正三角形，且面SAB⊥面ABCD，F为SD的中点．

（1）证明：SB∥面ACF；
（2）求面SBC与面SAD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BD交AC于O，连接OF，

因为ABCD为菱形，所以OB=OD，

又F为SD的中点，所以FO∥SB，

因为FO平面ACF，SB面ACF，

所以SB∥面ACF．

（2）证明：取AB中点M，连接MD，分别以MB、MD、MS为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

设AB=a，则B（ ，0，0），C（a， ，0），A（﹣ ，0，0），D（0， ，0），S（0，0， ），

=（ ， ，0）， =（﹣ ）， =（ ）， =（ ），

设面SBC的法向量 ，则 ，

令x′=1，则 ．

设面SAD的法向量为 ，则 ，

令x=1，则 ．

则cos＜ ＞= = ，

所以锐二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）连接BD交AC于O，连接OF，推导出FO∥SB，由此能证明SB∥面ACF．（2）取AB中点M，连接MD，分别以MB、MD、MS为x，y，z轴，建立空间直角坐系．利用向量法能求出锐二面角的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．