Question

设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x₁，x₂恒有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
（1）求证：f（1）=f（-1）=0；
（2）求证：y=f（x）是偶函数；
（3）若f（x）为（0，+∞）上的增函数，解不等式f(x)+f(x-

1

2

)≤0．

Answer 1

分析：（1）对定义域内任意的x₁，x₂恒有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）分别对x₁=x₂=1赋值，即可证f（1）=f（-1）=0；
（2）根据函数的奇偶性定义，只需要找到f（-x）与f（x）的关系即可解答问题，操作时可以令y=-x进行分析；
（3）首先应充分利用好前两问题的结论对（3）问进行转化，再结合所给不等式找到抽象不等式：f[x(x-

1

2

)]≤f(1)
，结合单调性分析即可获得问题的解答．

解答：解：（1）令x₁=x₂=1，则f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0
令x₁=x₂=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1）∴f（-1）=0
（2）x∈{x|x∈R且x≠0}关于原点对称，
令x₁=x，x₂=-1
∴f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
∴f（x）=f（-x）
所以f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数．
（3）不等式f(x)+f(x-

1

2

)≤0．
即f[x(x-

1

2

)]≤f(1)
∵f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数
且f（x）为（0，+∞）上的增函数，
∴|x(x-

1

2

)|≤1，
解得：

1- 17

4

≤x＜0或

1

2

＜x≤

1+ 17

4

．

点评：本题考查的是抽象函数问题．在解答的过程当中充分体现了，特值的思想、问题转化的思想以及函数奇偶性的判断和应用．值得同学们体会和反思．对于解决抽象函数的一般采用赋值法，求某些点的函数值和证明不等式等，属中档题．