Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在与椭圆交于两点的直线：，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由已知条件可推得，由此能求出椭圆的标准方程；（2）存在直线使得成立，直线方程与椭圆的方程联立，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件，得出，即可求解实数的取值范围．

试题解析：（1）设椭圆的方程为（），半焦距为．依题意，由右焦点到右顶点的距离为，得．解得，．所以．

所以椭圆的标准方程是．

（2）解：存在直线，使得成立．理由如下：

由得．

，化简得．

设，，则，．

若成立，即，等价于．

所以．，

，,

化简得，．将代入中，，解得， ．又由，，

从而，或．

所以实数的取值范围是．