【题目】设函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间和极值;
(Ⅱ)当时,若函数
在区间
上存在唯一零点,求
的取值范围.
【答案】(I)当时,
的单调递增区间为
,没有极值,当
时,
的单调递减区间为
,单调递增区间为
,极小值为
;(II)
.
【解析】
试题分析:(I)先求导,得,然后对
分成
两类进行分类讨论,由此求得函数的单调区间和极值;(II)当
时,由(I)可知,
为函数
的最小值点,分成
与
两类,讨论
的取值范围.
试题解析:
(Ⅰ),
(1) 若,则在区间
上
,
的单调递增区间为
,没有极值点.
(2)若,令
,即
,解得
,
故在区间内
,
单调递减;
在区间内
,
单调递增;当
时,
的单调递减区间为
,
的单调递增区间为
,当
时,函数
有极小值为
.
(Ⅱ)当时,由(Ⅰ)可知,
为函数
的最小值点
因为,若函数
在区间上
上存在唯一零点,
则当零点为函数的极小值点时:
,得
.
当零点在极小值点左侧时:,得
.
综上所述,函数在区间上
上存在唯一零点,
则.
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【题目】如图,一个侧棱长为的直三棱柱
容器中盛有液体(不计容器厚度).若液面恰好分别过棱
中点
.
(1)求证:平面平面
;
(2)当底面水平放置时,求液面的高.
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【题目】对于①“一定发生的”,②“很可能发生的”,③“可能发生的”,④“不可能发生的”,⑤“不太可能发生的”这5种生活现象,发生的概率由小到大排列为(填序号)_________________。
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【题目】已知椭圆的中心在原点
,焦点在
轴上,离心率为
,右焦点到右顶点的距离为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在与椭圆交于
两点的直线
:
,使得
成立?若存在,求出实数
的取值范围,若不存在,请说明理由.
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【题目】袋内分别有红、白、黑球3,2,1个,从中任取2个,则互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有一个白球;都是白球
B. 至少有一个白球;红、黑球各一个
C. 恰有一个白球;一个白球一个黑球
D. 至少有一个白球;至少有一个红球
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【题目】已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0时
成立.
(Ⅰ)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明;
(Ⅱ)解不等式:;
(Ⅲ)若f(x)≤m2-2am+1对所有的a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围
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