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已知函数f(x)=
1
3
ax3+
1
2
bx2
+cx+d(a,b,c,d为常数且a≠0),g(x)=f′(x)(f′(x)为f(x)的导数).
(Ⅰ)若g(x)满足:①g′(0)>0;②对于任意实数x,都有g(x)≥0.求
g(1)
g(0)
的最小值;
(Ⅱ)若a=1且对任意实数x∈(-∞,0)时有f′(x)>0;对于任意实数x∈(0,4)有f′(x)<0,求b的实数范围;
(Ⅲ)若a>0,-4a<b<4a,b2-4ac>0,-(4a+c)<2b<4a+c,求证:函数g(x)的零点在区间(-2,2)内.
分析:(Ⅰ)求函数的导数,根据条件求
g(1)
g(0)
的最小值;
(Ⅱ)当a=1时,根据条件x∈(-∞,0)时有f′(x)>0和x∈(0,4)有f′(x)<0,解不等式即可求b的实数范围;
(Ⅲ)根据根的存在性定义,将条件转化为二次函数,利用二次函数的图象和性质进行证明.
解答:解:(Ⅰ)g(x)=f'(x)=ax2+bx+c,g'(x)=2ax+b
由题意有a>0,b>0且b2-4ac≤0,从而有c>0且ac≥
b2
4

g(1)
g′(0)
=
a+b+c
b
=
a+c
b
+1≥
2
ac
b
+1≥2(当且仅当b=2a=2c时等号成立)
g(1)
g′(0)
的最小值为2;
(Ⅱ)a=1,f'(x)=x2+bx+c
由题意f(x)在(-∞,0)内为增函数,在(0,4)内为减函数,
∴x=0为f(x)的极值点,f'(0)=c=0.
∵f'(x)=x(x+b),
由f'(x)=0,得x1=0,x2=-b.
若-b<0,即b>0.f(x)在(-∞,-b)内为增函数,在(-b,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数,与已知矛盾.
若-b>0,即b<0.f(x)在(-∞,0)内为增函数,在(0,-b)上为减函数,在(-b,+∞)上为增函数,
∴-b≥4,即b≤-4,
综上b≤-4.
(Ⅲ)证明:
∵g(x)=ax2+bx+c,a>0,b2-4ac>0,
∴g(x)的图象为开口向上且与x轴有两个不同交点的抛物线,
∵-4a<b<4a,a>0,
∴-2<-
b
2a
<2
∵-(4a+c)<2b<4a+c,
4a+2b+c>0
4a-2b+c>0

g(2)>0
g(-2)>0

∴g(x)=0的根在区间(-2,2)内,即g(x)的零点在区间(-2,2)内.
点评:本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系,以及函数零点的证明和判断,考查学生的运算能力,综合性较强,难度较大.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
|x|
,g(x)=1+
x+|x|
2
,若f(x)>g(x),则实数x的取值范围是(  )
A、(-∞,-1)∪(0,1)
B、(-∞,-1)∪(0,
-1+
5
2
)
C、(-1,0)∪(
-1+
5
2
,+∞)
D、(-1,0)∪(0,
-1+
5
2
)

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1,x∈Q
0,x∉Q
,则f[f(π)]=(  )

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1-x
ax
+lnx(a>0)

(1)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围;
(2)当a=1时,求f(x)在[
1
2
,2
]上的最大值和最小值;
(3)当a=1时,求证对任意大于1的正整数n,lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+
+
1
n
恒成立.

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π
6
),其中x∈R,则下列结论中正确的是(  )

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