Question

5．已知向量$\overrightarrow{O{P}_{1}}$，$\overrightarrow{O{P}_{2}}$，$\overrightarrow{O{P}_{3}}$，满足$\overrightarrow{O{P}_{1}}$+$\overrightarrow{O{P}_{2}}$+$\overrightarrow{O{P}_{3}}$=0，且|$\overrightarrow{O{P}_{1}}$|=|$\overrightarrow{O{P}_{2}}$|=|$\overrightarrow{O{P}_{3}}$|=1，则|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$|=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先证明$\overrightarrow{O{P}_{1}}$•$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，由向量的数量积的定义可得，∠P₁OP₂=120°，即可得出结论．

解答 解：∵$\overrightarrow{O{P}_{1}}$+$\overrightarrow{O{P}_{2}}$+$\overrightarrow{O{P}_{3}}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{O{P}_{1}}$+$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=-$\overrightarrow{O{P}_{3}}$，
∵|$\overrightarrow{O{P}_{1}}$|=|$\overrightarrow{O{P}_{2}}$|=|$\overrightarrow{O{P}_{3}}$|=1，
∴两边平方，整理可得$\overrightarrow{O{P}_{1}}$•$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$
由向量的数量积的定义可得，∠P₁OP₂=120°
∴|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$|=$\sqrt{1+1-2×1×1×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{3}$
故答案为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义，考查余弦定理，属于中档题．