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设函数f(x)=a为常数且a∈(0,1).
(1)当a=时,求f
(2)若x0满足f[f(x0)]=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2
(3)对于(2)中的x1,x2,设A(x1,f[f(x1)]),B(x2,f[f(x2)]),C(a2,0),记△ABC的面积为S(a),求S(a)在区间[]上的最大值和最小值.
(1)(2)见解析,x1,x2(3)最小值为,最大值为
(1)当a=时,f,f=f=2.
(2)证明:f[f(x)]=
当0≤x≤a2时,由x=x解得x=0,由于f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;
当a2<x≤a时,由 (a-x)=x解得x=∈(a2,a),因为f·,故x=是f(x)的二阶周期点;
当a<x<a2-a+1时,由 (x-a)=x解得x=∈(a,a2-a+1),
因为f·,故x=不是f(x)的二阶周期点;
当a2-a+1≤x≤1时,由 (1-x)=x解得x=∈(a2-a+1,1),因为f·,故x=是f(x)的二阶周期点.
因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,x1,x2.
(3)由(2)得A(),B(),则S(a)=
S′(a)=·.
因为a∈[],有a2+a<1,所以S′(a)=··>0.(或令g(a)=a3-2a2-2a+2,g′(a)=3a2-4a-2=3(a-)(a-),
因为a∈(0,1),所以g′(a)<0,则g(a)在区间[]上最小值为g()=>0,故对于任意a∈[],g(a)=a3-2a2-2a+2>0,S′(a)=·>0)则S(a)在区间[]上单调递增,故S(a)在区间[]上的最小值为S()=,最大值为S()=.
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