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如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1,AB=AC=1,∠BAC=90°,连结A1B与∠A1BC=60°.

(Ⅰ)求证:AC⊥A1B;
(Ⅱ)设D是BB1的中点,求三棱锥D-A1BC1的体积.

(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)

解析试题分析:(Ⅰ)借助直三棱柱的性质和线面垂直的性质定理证明平面,然后利用线面垂直的性质证明;(Ⅱ)证明是正三角形,由求解.
试题解析:(Ⅰ) 三棱柱是直三棱柱,
平面,.
,平面
平面,
平面,从而.      (4分)
(Ⅱ)连结,设
,从而是正三角形,
,           (8分)
的中点.
.      (12分)

考点:三棱柱的性质,空间中的线线、线面垂直,三棱锥的体积.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

四棱锥底面是平行四边形,面,,,分别为的中点.

(1)求证:
(2)求二面角的余弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,四棱锥的底面是正方形,棱底面,=1,的中点.

(1)证明平面平面; 
(2)求二面角的余弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知斜三棱柱的底面是直角三角形, ,侧棱与底面所成角为,点在底面上的射影落在上.

(1)求证:平面
(2)若,且当时,求二面角的大小.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,四棱锥的底面为矩形,分别是的中点,

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求证:平面平面

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

在四棱锥中,侧面底面中点,底面是直角梯形,,,.

(1)求证:
(2)求证:面
(3)设为棱上一点,,试确定的值使得二面角.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,为圆柱的母线,是底面圆的直径,分别是的中点,

(1)证明:
(2)证明:
(3)求四棱锥与圆柱的体积比.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,四棱柱中,平面

(Ⅰ)从下列①②③三个条件中选择一个做为的充分条件,并给予证明;
,②;③是平行四边形.
(Ⅱ)设四棱柱的所有棱长都为1,且为锐角,求平面与平面所成锐二面角的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,平面四边形的4个顶点都在球的表面上,为球的直径,为球面上一点,且平面 ,点的中点.
(1) 证明:平面平面
(2) 求点到平面的距离.

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