【题目】先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:
已知,
,求证:
.
证明:构造函数,
即
.
因为对一切,恒有
,
所以,从而得
.
(1)若,
,请写出上述结论的推广式;
(2)参考上述证法,对你推广的结论加以证明.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某地区某农产品近几年的产量统计如表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年产量 | 6.6 | 6.7 | 7 | 7.1 | 7.2 | 7.4 |
(1)根据表中数据,建立关于
的线性回归方程
;
(2)根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.
附:,
. 参考数据:
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在某校举行的航天知识竞赛中,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3,且成绩分布在[40,100],分数在80以上(含80)的同学获奖.按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)填写下面的2×2列联表,并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与学生的文、理科有关”.
文科生 | 理科生 | 总计 | |
获奖 | 5 | ||
不获奖 | |||
总计 | 200 |
附表及公式:
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
.
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【题目】如图,在正四棱锥中,O为顶点S在底面ABCD内的投影,P为侧棱SD的中点,且
.
(1)证明:平面PAC.
(2)求直线BC与平面PAC的所成角的大小.
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【题目】为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度,在该市随机抽取了50名市民进行调查,他们月收入(单位:百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表:
月收入 | ||||||
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 4 | 8 | 8 | 5 | 2 | 1 |
将月收入不低于55百元的人群称为“高收入族”,月收入低于55百元的人群称为“非高收入族”.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 /td> | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
非高收入族 | 高收入族 | 总计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
总计 |
(1)根据已知条件完成下面的列联表,并判断有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关?
(2)现从月收入在的人群中随机抽取两人,求所抽取的两人中至少有一人赞成楼市限购令的概率.
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【题目】已知圆C:.
(1)求圆的圆心C的坐标和半径长;
(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合,l与圆C相交于两点,求证:
为定值;
(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点,求直线m的方程,使的面积最大.
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【题目】如图,在各棱长均为2的正三棱柱中,
分别为棱
与
的中点,
为线段
上的动点,其中,
更靠近
,且
.
(1)证明: 平面
;
(2)若与平面
所成角的正弦值为
,求异面直线
与
所成角的余弦值.
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【题目】以三角形边,
,
为边向形外作正三角形
,
,
,则
,
,
三线共点,该点称为
的正等角中心.当
的每个内角都小于120时,正等角中心点P满足以下性质:
(1);(2)正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点(也即费马点).由以上性质得
的最小值为_________
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