Question

13．已知函数f（x）=1-ax+lnx，（x＞0），函数g（x）满足g（x）=x-1，（x∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1时存在极值，求a的值；
（2）在（1）的条件下，当x＞1时，blnx＜$\frac{f（x）}{g（x）}$，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-a$，由f′（1）=0及函数f（x）在x=1时存在极值，能求出a．
（2）推导出b＜0，此时，当x＞1时，blnx＜$\frac{f（x）}{g（x）}$可转化为（bx-b-1）lnx+x-1＜0，令g₁（x）=（bx-b-1）lnx+x-1，则${{g}_{1}}^{'}（x）=blnx+b-\frac{b+1}{x}+1$，由此利用导数性质及分类讨论思想能求出实数b的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=1-ax+lnx，（x＞0），
∴${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-a$，由f′（1）=0，得a=1，
此时f（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，
所以f（x）在x=1时存在极大值．所以a=1．
（2）当b≥0，x＞1时，blnx≥0，
当x＞1时，由（1）知，f（x）＜f（1）=0，g（x）＞0，
所以$\frac{f（x）}{g（x）}＜0$，blnx＜$\frac{f（x）}{g（x）}$，不成立．
故b＜0，此时，当x＞1时，blnx＜$\frac{f（x）}{g（x）}$可转化为：（bx-b-1）lnx+x-1＜0，
令g₁（x）=（bx-b-1）lnx+x-1，则${{g}_{1}}^{'}（x）=blnx+b-\frac{b+1}{x}+1$，
令${g}_{2}（x）={{g}_{1}}^{'}（x）$，则${{g}_{2}}^{'}（x）=\frac{b}{x}+\frac{b+1}{{x}^{2}}$=$\frac{b（x+1+\frac{1}{b}）}{{x}^{2}}$，
①若-$\frac{1}{2}＜b＜0$，当x∈（1，-$\frac{b+1}{b}$）时，${{g}_{2}}^{'}（x）＞0$，得${{g}_{1}}^{'}（x）＞{{g}_{1}}^{'}（1）$=0，
所以g₁（x）为（1，-$\frac{b+1}{b}$）上的增函数，故存在x₀∈（1，-$\frac{b+1}{b}$），使g₁（x）＞g₁（1）=0，
与g₁（x）＜0相矛盾，故-$\frac{1}{2}＜b＜0$时，不能使blnx＜$\frac{f（x）}{g（x）}$，成立；
②若b≤-$\frac{1}{2}$，当x＞1时，x+1+$\frac{1}{b}$＞0，即${{g}_{2}}^{'}（x）＜0$，得${{g}_{1}}^{'}（x）＜{{g}_{1}}^{'}（1）=0$，
∴g₁（x）为（1，+∞）上的减函数，故g₁（x）＜g₁（1）=0
∴blnx＜$\frac{f（x）}{g（x）}$成立．
综上所述，实数b的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查实数值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、导数性质的合理运用．