Question

【题目】已知，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．

（1）若，点在椭圆上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；

（2）若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时直线斜率；若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求得焦点坐标，设，运用向量数量积的坐标表示，结合椭圆的范围，可得所求范围；

（2）设，的坐标分别为，，，，运用中点坐标公式和点差法，直线的斜率公式，结合平行四边形的性质，即可得到所求斜率．

解：（1）时，椭圆，两个焦点，，，，

设，可得，即，

，，，，

，

因为，

所以的范围是；

（2）设，的坐标分别为，，，，可得，，

则，两式相减可得，

，即，

故，又设，，直线，

即直线的方程为，

从而，代入椭圆方程可得，，

由与，联立得，

若四边形为平行四边形，那么也是的中点，

所以，即，整理可得，

解得，经检验满足题意，

所以当时，四边形为平行四边形．