Question

【题目】已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，当直线过点时，以为直径的圆与直线相切．

（1）求抛物线的方程；

（2）与平行的直线交抛物线于，两点，若平行线，之间的距离为，且的面积是面积的倍（O为坐标原点），求和的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2），或者，．

【解析】

（1）设直线AB方程为，代入得，

利用弦长公式求得弦长，结合以AB为直径的圆与直线x=-1相切列式求得p，则抛物线方程可求；
（2）O到直线l1的距离为，写出三角形AOB的面积，同理写出三角形COD的面积，结合△OCD的面积是△OAB面积的倍求b，则直线l1和l2的方程可求．

（1）设直线AB方程为，

代入得，

∴，

设，

∴，

，

当时，，AB的中点为，

依题意可知，解之得，

∴抛物线方程为.

（2）由（1）得O到直线的距离为，

∴.

∵平行线之间的距离为，

∴直线CD的方程为，

∴.

依题意可知，即，

化简得，

∴，代入（1）中均成立，

∴或者.