Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．

（1）求证：DE2=DBDA；
（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OF．

因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．

所以∠OFC+∠CFD=90°．

因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．

因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．

所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．

因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DBDA．

所以DE2=DBDA

（2）解：∵DF2=DBDA，DB=2，DF=4．

∴DA=8，从而AB=6，则OC=3．

又由（1）可知，DE=DF=4，∴BE=2，OE=1．

从而 在Rt△COE中，

【解析】（1）连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理证明DE2=DBDA，即可求出DE．（2）求出BE=2，OE=1，利用勾股定理求CE的长．