Question

18．（1）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））=4x-1，求函数f（x）的解析式．
（2）已知函数f（x）（x∈R）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x-1，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=ax+b（a≠0），由f（f（x））=4x-1，得a（ax+b）+b=a²x+ab+b=4x-1，然后利用系数相等列式求得a，b的值得答案；
（2）由已知可得f（0）=0，再结合函数的奇偶性及x＞0时，f（x）=2x-1求得x＜0时的解析式得答案．

解答 解：（1）设f（x）=ax+b（a≠0），
由f（f（x））=4x-1，得a（ax+b）+b=a²x+ab+b=4x-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{ab+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∴f（x）=2x$-\frac{1}{3}$或f（x）=-2x+1；
（2）由函数f（x）（x∈R）是奇函数，得f（0）=0；
又当x＞0时，f（x）=2x-1，
设x＜0，则-x＞0，∴f（x）=-f（-x）=-（-2x-1）=2x+1．
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2x-1，x＞0}\\{0，x=0}\\{2x+1，x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查了利用待定系数法求函数解析式，是中档题．