【题目】函数.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线与直线垂直,求单调递减区间和极值(其中为自然对数的底数);
(Ⅱ)若对任意,恒成立.求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)的单调递减区间为,极小值为2,无极大值.(Ⅱ)
【解析】分析:(Ⅰ)先利用导数的几何意义求出k的值,然后利用导数求该函数单调区间及其极值;
(Ⅱ)由题意可知,函数f(x)-x在(0,+∞)上递增,即该函数的导数大于等于零在(0,+∞)恒成立,然后转化为导函数的最值问题来解.
详解:
(Ⅰ)由,知,.
因为曲线在点处的切线与直线垂直,
所以,即,得.
所以.
当时,,在单调递减;
当时,,在单调递增.
所以当时,有极小值,且极小值为.
综上,的单调递减区间为,极小值为2,无极大值.
(Ⅱ)因为对任意,恒成立
所以对任意恒成立,
令,
则在单调递减,
所以在恒成立,
所以恒成立.
令,则.
所以的取值范围是.
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【题目】设单调函数的定义域为,值域为,如果单调函数使得函数的值域也是,则称函数是函数的一个“保值域函数”.已知定义域为的函数,函数与互为反函数,且是的一个“保值域函数”,是的一个“保值域函数”,则__________.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且, .
求证:(1)直线DE平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
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【题目】在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶,工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标和,制成下图,其中“”表示甲村贫困户,“”表示乙村贫困户.
若,则认定该户为“绝对贫困户”,若,则认定该户为“相对贫困户”,若,则认定该户为“低收入户”;
若,则认定该户为“今年能脱贫户”,否则为“今年不能脱贫户”.
(1)从甲村50户中随机选出一户,求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率;
(2)若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户,用表示所选3户中乙村的户数,求的分布列和数学期望;
(3)试比较这100户中,甲、乙两村指标的方差的大小(只需写出结论).
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【题目】定义在上的函数满足对于任意实数,都有,且当时,,.
(1)判断的奇偶性并证明;
(2)判断的单调性,并求当时,的最大值及最小值;
(3)解关于的不等式.
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【题目】设命题p:实数满足不等式;
命题q:关于不等式对任意的恒成立.
(1)若命题为真命题,求实数的取值范围;
(2)若“”为假命题,“”为真命题,求实数的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知圆的参数方程为(为参数,).以原点为极点,轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线的极坐标方程是.
(1)若直线与圆有公共点,试求实数的取值范围;
(2)当时,过点且与直线平行的直线交圆于两点,求的值.
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