Question

15．数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=l，a_n+1=2S_n+1 （n≥1）
（I）求{ a_n }的通项公式；
（Ⅱ）等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求数列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n项和A_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知数列递推式可得数列{ a_n }是以1为首项，以3为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）设出等差数列的公差，由已知列式求得首项和公差，的其前n项和为T_n，然后利用裂项相消法求数列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n项和A_n．

解答 解：（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+1 （n≥1），得a_n=2S_n-1+1 （n≥2），
两式作差可得：a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2），
又a₁=l，a_n+1=2S_n+1，得a₂=2a₁+1=3，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=3$（n≥1）．
∴数列{ a_n }是以1为首项，以3为公比的等比数列，
则${a}_{n}={3}^{n-1}$；
（Ⅱ）设等差数列{b_n}的公差为d（d＞0），
由T₃=15，a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，得
$\left\{\begin{array}{l}{3{b}_{1}+3d=15}\\{（3+{b}_{1}+d）^{2}=（1+{b}_{1}）（9+{b}_{1}+2d）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$．
∴$Tn=3n+\frac{n（n-1）}{2}×2=n（n+2）$．
则$\frac{1}{{T}_{n}}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴${A}_{n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}[\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{（n+1）（n+2）}]$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．