Question

【题目】如图，四棱锥的底面是平行四边形，.

（1）求证：平面平面；

（2）若，为的中点，为棱上的点，平面，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析.

(2) .

【解析】分析：（1）由平面，可得，由，可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，从而根据面面垂直的判定定理可得结果；（2）以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零，列方程组分别求出平面与平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.

详解：（1）∵AB∥CD，PC⊥CD，∴AB⊥PC，

∵AB⊥AC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，

∴AB⊥PA，又∵PA⊥AD，AB∩AD＝A，

∴PA⊥平面ABCD，PA平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABCD．

（2）连接BD交AE于点O，连接OF，

∵E为BC的中点，BC∥AD，

∴＝＝，

∵PD∥平面AEF，PD平面PBD，

平面AEF∩平面PBD＝OF，

∴PD∥OF，

∴＝＝，

以AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A－xyz，

则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，3，0)，D(－3，3，0)，

P(0，0，3)，E(，，0)，F(2，0，1)，

设平面ADF的法向量m＝(x1，y1，z1)，

∵＝(2，0，1)，＝(－3，3，0)，

由·m＝0，·m＝0得取m＝(1，1，－2)．

设平面DEF的法向量n＝(x2，y2，z2)，

∵＝(，－，0)，＝(，－，1)，

由·n＝0，·n＝0得取n＝(1，3，4)．

cosm，n＝＝－，

∵二面角A-DF-E为钝二面角，∴二面角A-DF-E的余弦值为－．