Question

【题目】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图．

（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；

（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.

Answer 1

【答案】略

【解析】证明：（1）因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，ADB1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D平面C1BD，AB1平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.同理，B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.

（2）如图，设A1C1与B1D1交于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.

因为AO1平面AB1D1，

所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．

连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．

下面证明A1E＝EF＝FC.

因为平面A1C1CA∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1CA∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.

在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，

即A1E＝EF.同理，CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.