Question

已知点F（ 1，0），⊙F与直线4x+3y+1=0相切，动圆M与⊙F及y轴都相切．
（I ）求点M的轨迹C的方程；
（II）过点F任作直线l，交曲线C于A，B两点，由点A，B分别向⊙F各引一条切线，切点 分别为P，Q，记α=∠PAF，β=∠QBF．求证sinα+sinβ是定值．

Answer 1

（Ⅰ）⊙F的半径r

|4+1|

42+32

=1，∴⊙F的方程为（x-1）²+y²=1，
由题意动圆M与⊙F及y轴都相切，分以下情况：
（1）动圆M与⊙F及y轴都相切，但切点不是原点的情况：
作MH⊥y轴于H，则|MF|-1=|MH|，即|MF|=|MH|+1，
过M作直线x=-1的垂线MN，N为垂足，
则|MF|=|MN|，
∴点M的轨迹是以F为焦点，x=-1为准线的抛物线，
∴点M的轨迹C的方程为y²=4x（x≠0）；
（2）动圆M与⊙F及y轴都相切且仅切于原点的情况：
此时点M的轨迹C的方程为y=0（x≠0，1）；             
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中（1）的情况：
当l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1），
由

y=k(x-1) y2=4x

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=2k2+4，x₁x₂=1，
∴sinα+sinβ=

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

x1+1

+

1

x2+1

=

x1+x2+2

x1x2+x1+x2+1

=1．
当l与x轴垂直时，也可得sinα+sinβ=1，
对于（Ⅰ）中（2）的情况不符合题意（即作直线l，交C于一个点或无数个点，而非两个交点）．
综上，有sinα+sinβ=1．