Question

【题目】在平面直角坐标系中，圆，把圆上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，且倾斜角为，经过点的直线与曲线交于两点.

（1）当时，求曲线的普通方程与直线的参数方程；

（2）求点到两点的距离之积的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 的方程为， 的参数方程是（是参数）.(2) .

【解析】试题分析： 由圆上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，代入点坐标求出普通方程，将时代入，求直线的参数方程(2)将参数方程代入利用公式求出到两点的距离之积的最小值

解析：（1）设圆上任意一点的坐标为，曲线上一点的坐标为,

根据题意，得，即.

又点在圆上，

所以，

即曲线的方程为，

由题知， ，

所以直线的参数方程是（是参数）.

（2）将直线的参数方程（是参数）代入，

得 （*）.

设两点对应的参数分别为，

则，

当时，经检验，（*）式中，

则取得最小值，即最小值为.