Question

已知

（1）判断的奇偶性；

（2）讨论的单调性；

（3）当时，恒成立，求b的取值范围.

 

Answer 1

（1）为奇函数；（2）为增函数；（3）的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）要判断的单调性，首先考虑其定义域为，关于原点对称，又，因此为奇函数；（2）的表达式中有，因此需要分和，两种情况分类讨论，可以得到在上单调递增；（3）根据题意，要使对任意恒成立，只需，而由（2）在上单调递增，因此只需.，从而可以得到的取值范围为.

（1）函数定义域为R，关于原点对称，∵，∴为奇函数； （2）当时，为增函数，为减函数，

从而为增函数，∴为增函数.

当时，为减函数，∴为增函数，

故当且时，在上单调递增；

（3）由（2）知在R上是增函数，∴在区间上为增函数，

∴，

∴要使在上恒成立，则，故的取值范围是．

考点：1.函数奇偶性的判定；2.函数单调性判定；3.恒成立问题的处理方法.