Question

18．设函数f（x）=$\frac{1-a}{2}$x²+ax-lnx（a∈R）．
（1）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若对任意a∈（3，4）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有$\frac{（{a}^{2}-1）m}{2}$+ln2＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=（1-a）x+a-$\frac{1}{x}$=$\frac{[（1-a）x+1]（x-1）}{x}$．（x＞0）．对a分类讨论，即可得出函数f（x）的单调区间．
（2）由（1）可得：对任意a∈（3，4），函数f（x）在区间[1，2]内单调递减，因此f（x）_min=f（2）=2-ln2．f（x）_max=f（1）=$\frac{1+a}{2}$．由对任意a∈（3，4）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有$\frac{（{a}^{2}-1）m}{2}$+ln2＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，
对任意a∈（3，4）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有$\frac{（{a}^{2}-1）m}{2}$+ln2＞|f（x）_min-f（x）_max|=$\frac{a-3}{2}$+ln2成立．化为：m＞$\frac{a-3}{{a}^{2}-1}$，a∈（3，4）．令g（a）=$\frac{a-3}{{a}^{2}-1}$，a∈（3，4）．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（1）a＞1时，f′（x）=（1-a）x+a-$\frac{1}{x}$=$\frac{[（1-a）x+1]（x-1）}{x}$=$\frac{（1-a）（x-\frac{1}{a-1}）（x-1）}{x}$（x＞0）．
a＞2时，0＜$\frac{1}{a-1}$＜1，函数f（x）在$（0，\frac{1}{a-1}）$，（1，+∞）上单调递减，在$[\frac{1}{a-1}，1]$上单调递增．
a=2时，f′（x）=$\frac{-（x-1）^{2}}{x}$，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
1＜a＜2时，$\frac{1}{a-1}$＞1，则函数f（x）在（0，1），$（\frac{1}{a-1}，+∞）$上单调递减，在$[1，\frac{1}{a-1}]$上单调递增．
（2）由（1）可得：对任意a∈（3，4），函数f（x）在区间[1，2]内单调递减，因此f（x）_min=f（2）=2-ln2．
f（x）_max=f（1）=$\frac{1+a}{2}$．
由对任意a∈（3，4）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有$\frac{（{a}^{2}-1）m}{2}$+ln2＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，
∴对任意a∈（3，4）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有$\frac{（{a}^{2}-1）m}{2}$+ln2＞|f（x）_min-f（x）_max|=$\frac{a-3}{2}$+ln2成立．
化为：m＞$\frac{a-3}{{a}^{2}-1}$，a∈（3，4）．
令g（a）=$\frac{a-3}{{a}^{2}-1}$，a∈（3，4）．
g′（a）=$\frac{-（a-\frac{3-4\sqrt{2}}{2}）（a-\frac{3+4\sqrt{2}}{2}）}{（{a}^{2}-1）^{2}}$＜0，
∴函数g（a）在a∈（3，4）上单调递减．
∴m≥g（3）=0．
∴实数m的取值范围是[0，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、等价转化方法、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．