Question

3．若函数f（x）=-x（x-a）在[-1，a]上的最大值为a，求实数a．

Answer 1

分析 根据对称轴与a的大小关系讨论f（x）在[-1，a]上的单调性，列出方程解出a．

解答 解：f（x）的图象开口向下，对称轴为x=$\frac{a}{2}$，
（1）若a＞0，则0＜$\frac{a}{2}＜a$，∴f（x）在[-1，$\frac{a}{2}$]上是增函数，在[$\frac{a}{2}$，a]上是减函数，
∴f_max（x）=f（$\frac{a}{2}$）=a，即（$\frac{a}{2}$）²=a，解得a=2．
（2）若a=0，则f（x）在[-1，0]上是增函数，
∴f_max（x）=f（0）=0，即0=0，恒成立．
（3）若a＜0，则a＜$\frac{a}{2}$＜0，∴f（x）在[-1，a]上是增函数，
∴f_max（x）=f（a）=a，即0=a，无解．
综上，a=2或a=0．

点评 本题考查了二次函数的单调性与最值，讨论对称轴与区间的关系是关键．