Question

【题目】如图1是定义在R上的二次函数f(x)的部分图像，图2是函数的部分图像。

(Ⅰ) 分别求出函数和的解析式；

（Ⅱ）如果函数在区间上是单调递减函数，求的取值范围。

Answer 1

【答案】(1) ,;(2)

【解析】试题分析：（1）由题图1得，二次函数f（x）的顶点坐标可设函数的顶点式f（x）=a（x﹣1）2+2，又函数f（x）的图象过点（0，0），求出a，得f（x）的解析式．由题图2得，函数g（x）=loga（x+b）的图象过点（0，0）和（1，1），将点的坐标代入列出关于a，b的方程组，解得a，b．最后写出g（x）的解析式即可；

（2）由（1）得y=g（f（x））=log2（﹣2x2+4x+1）是由y=log2t和t=﹣2x2+4x+1复合而成的函数，利用复合函数的单调性研究此函数的单调性，从而得出满足条件的m的取值范围．

试题解析：

(Ⅰ) f(x)＝a(x－1)2＋2.又函数f(x).的图像过点(0,0)，故a＝－2，

整理得f(x)＝－2x2＋4x.

由题图2得，函数g(x)＝loga(x＋b)的图像过点(0,0)和(1,1)，

故有∴

∴g(x)＝log2(x＋1)．

（Ⅱ）由(Ⅰ) 得y＝g[f(x)]＝log2(－2x2＋4x＋1)是由

y＝log2t和t＝－2x2＋4x＋1复合而成的函数，

而y＝log2t在定义域上单调递增，

要使函数y＝g[f(x)]在区间[1，m)上单调递减，

必须使t＝－2x2＋4x＋1在区间[1，m)上单调递减，且有t>0恒成立．

又∵其对称轴x＝＝1，且由t＝0，得x＝.

故1<m≤.