Question

8．△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，$1+\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c}{{\sqrt{3}b}}$．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，求函数y=2sin²B-2sinBcosC的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，得$1+\frac{sinAcosB}{cosAsinB}=\frac{sin（A+B）}{cosAsinB}$，由sin（A+B）=sinC，得到$\frac{sinC}{cosAsinB}=\frac{2sinC}{{\sqrt{3}sinB}}$，由此能求出$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，从而能求出A．
（Ⅱ）求出$B+C=\frac{5π}{6}$，推导出y=sin（2B-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由此能求出函数y=2sin²B-2sinBcosC的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为$1+\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c}{{\sqrt{3}b}}$，所以由正弦定理，得$1+\frac{sinAcosB}{cosAsinB}=\frac{sin（A+B）}{cosAsinB}$…（2分）
因为A+B+C=π，所以sin（A+B）=sinC，
所以$\frac{sinC}{cosAsinB}=\frac{2sinC}{{\sqrt{3}sinB}}$…（4分）
所以$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，故$A=\frac{π}{6}$…（6分）
（Ⅱ）因为A+B+C=π，$A=\frac{π}{6}$，所以$B+C=\frac{5π}{6}$…（7分） 
所以$y=2{sin^2}B-2sinBcosC=1-cos2B-2sinBcos（\frac{5π}{6}-B）$
=$1-cos2B+\sqrt{3}sinBcosB-{sin^2}B$
=$1-cos2B+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2B-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2B$
=$\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2B-\frac{1}{2}cos2B=sin（2B-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$…（9分）
又△ABC为锐角三角形，$c=\frac{5π}{6}-B＜\frac{π}{2}$，
所以$\frac{π}{3}＜B＜\frac{π}{2}⇒\frac{π}{2}＜2B-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$
所以$y=sin（2B-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}∈（1，\frac{3}{2}）$…（12分）

点评 本题考查角的大小的求法，考查三角函数的取值范围的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角函数二倍角公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．